常用三角函数公式

积化和差公式

\scriptsize { \begin{aligned} \sin \alpha \cos \beta & =\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta & =\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta & =\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta & =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] \end{aligned}}

和差化积公式

\scriptsize { \begin{aligned} \sin\alpha+\sin\beta & =2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta & =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha+\cos\beta & =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta & =-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ \tan\alpha+\tan\beta & =\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos \beta}\end{aligned} }

归一化公式

\scriptsize { \begin{aligned} \sin^2 x+\cos^2x & =1 \\ \sec^2 x-\tan^2x & =1 \\ \cosh^2x-\sinh^2x & =1 \end{aligned} }

倍(半)角公式降(升)幂公式

\scriptsize { \begin{aligned} \sin^2x & =\frac{1}{2}(1-\cos 2x) \\ \cos^2x & =\frac{1}{2}(1+\cos 2x) \\ \tan^2x & =\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \\ \sin x & =2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\ \cos x & =2\cos^2\frac{x}{2}-1=1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} \\ \tan x & =\frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)} \end{aligned} }

万能公式

令 $u=\tan\dfrac{x}{2}$ 则

\scriptsize { \begin{aligned} \sin x=\frac{2u}{1+u^2} \\ \cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2} \end{aligned} }

常用的佩亚诺型余项泰勒公式

\scriptsize { \begin{aligned} f(x)= & f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n] \\ f(x)= & f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \end{aligned} }

由此可得常用的泰勒公式

\scriptsize { \begin{aligned} \mathrm{e}^{x} & =1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+o(x^{n}) \\ \ln(x+1) & =x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^{n}+o(x^{n}) \end{aligned} }

令 $n=2m$ 有,

\scriptsize { \begin{aligned} \sin x & =x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{120}x^{5}+\cdots+(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m-1)!}x^{2m-1}+o(x^{2m}) \\ \cos x & =1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\cdots+(-1)^m \frac{1}{(2m)!}x^{2m}+o(x^{2m+1}) \\ \tan x & =x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots+o(x^{2m-1}) \end{aligned} }

此处考虑到tan的泰勒公式其通项公式会出现伯努利数故此处略去其通项

\scriptsize { \begin{aligned} \arcsin x & =x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^{5}+\cdots+o(x^{2m}) \end{aligned} }

常用于近似计算的泰勒公式

\scriptsize { \begin{aligned} \frac{1}{1-x} & =1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n) \\ (1+x)^{\alpha} & =\sum_{i=0}^{n}\frac{\prod_{j=0}^{i-1}{(\alpha-j})}{i!}x^n+o(x^n) \\ & =1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+o(x^n) \\ \alpha^x & =\sum_{i=0}^{n}\frac{\ln^n \alpha}{n!}x^n+o(x^n) \\ & =1+x\ln \alpha+\frac{\ln^2 \alpha}{2}x^2+\cdots+\frac{\ln^n \alpha}{n!}x^n+o(x^n) \end{aligned} }

基本求导公式

\scriptsize { \begin{aligned} \left( C\right)' & =0 \\ \left( x^{\mu}\right)'& =\mu x^{\mu-1} \\ \left( \sin x\right)' & =\cos x \\ \left( \cos x\right)' & =-\sin x\\ \left( \tan x\right)' & =\sec^2 x \\ \left( \cot x\right)' & =-\csc^2 x \\ \left( \sec x\right)' & =\sec x\cdot\tan x\\ \left( \csc x\right)' & =-\csc x\cdot\tan x\\ \left( a^x\right)' & =a^x\ln a\ (a>0,a\neq1)\\ \left( \log_{a}x\right)' & =\frac{1}{x\cdot\ln a}\ (a>0,a\neq1)\\ \left( \arcsin x\right)' & =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \left( \arccos x\right)' & =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \left( \arctan x\right)' & =\frac{1}{1+x^2}\\ \left( \mathrm{arccot}\, x\right)' & =-\frac{1}{1+x^2}\\ \end{aligned} }

函数图形描述中涉及到的重要公式

常用曲率计算公式

曲率的定义式 $K=\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right|$

由定义式我们可以推得

直角坐标系中的曲线 $y=y(x)$ 有曲率表达式
$K=\frac{\left|y''\right|}{\left( 1+y^{'2} \right)^{3/2}}$
参数方程表示的曲线 $x=\varphi(t),y=\psi(t)$ 有曲率表达式
$K=\frac{\left|\varphi'(t)\psi''(t)-\varphi''(t)\psi'(t)\right|}{\left[ \varphi^{'2}(t) +\psi^{'2}(t) \right]^{3/2}}$
极坐标表示的的曲线 $y=y(x)$ 有曲率表达式
$K=\frac{\left|r^2+2r^{'2}-r\cdot r''\right|}{\left(r^2+r^{'2}\right)^{3/2}}$
曲线在对应点 $M(x,y)$ 的曲率中心 $D(\alpha,\beta)$ 的坐标为

\scriptsize { \begin{cases} \alpha=x-\displaystyle\frac{y'(1+y^{'2})^3}{y^{''2}} \\ \beta=y+\displaystyle\frac{1+y^{'2}}{y''} \end{cases} }

曲线的渐近线

若 $\lim\limits_{ x\rightarrow \infty }f(x)=b$ ,则称 $y=b$ 为曲线 $f(x)$ 的水平渐近线
若 $\lim\limits_{ x\rightarrow x_0 }f(x)=\infty$ ,则称 $x=x_0$ 为曲线 $f(x)$ 的垂直渐近线
若 $\lim\limits_{ x\rightarrow \infty }[f(x)-(ax+b)]=0$ ,其中

\scriptsize { \begin{cases} a=\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x} \\ b=\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-ax] \end{cases} }

则称 $y=ax+b$ 为曲线 $f(x)$ 的斜渐近线

基本积分公式

\scriptsize { \begin{aligned} & \int k \,\mathrm{d}x=kx+C \\ & \int x^\mu\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\ (\mu\neq-1) \\ & \int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \\ & \int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \\ & \int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \\ & \int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C \\ & \int\cos x \,\mathrm{d}x=\sin x +C \\ & \int\tan x\,\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\ & \int\cot x\,\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\ & \int\csc x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C \\ & \int\sec x\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C \\ & \int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \\ & \int \csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \\ & \int \sec x\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \\ & \int\csc x \cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ & \int \mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\ & \int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \\ & \int \sinh x\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \\ & \int \cosh x\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \\ & \int \frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C \\ & \int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \\ & \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln \left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C\end{aligned} }

基本积分方法

第一类换元法

三角函数之积的积分

一般地,对于 $\sin^{2k+1}x\cos^n x$ 或 $\sin^n x \cos^{2k+1}x$
(其中 $k\in\mathbb{N}$ )型函数的积分,总可依次作变换
$u=\cos x$ 或 $u=\sin x$ ,从而求得结果;
一般地,对于 $\sin^{2k}x\cos^{2l}x$ 或
(其中 $k,l\in \mathbb{N}$ )型函数的积分,总是利用降幂公式 $\sin^2=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2x),\cos^2=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x)$ 化成 $\cos 2x$ 的多项式
,从而求得结果;
一般地,对于 $\tan^{n}x\sec^{2k} x$ 或 $\tan^{2k-1} x \sec^{n}x$
(其中 $n,k\in\mathbb{N}_{+}$ )型函数的积分,总可依次作变换
$u=\tan x$ 或 $u=\sec x$ ,从而求得结果;

常见的凑微分类型

\scriptsize { \begin{aligned} & \int {f( ax + b){\rm{d}}x = }\frac{1}{a}\int {f(ax+b){\mathrm{d}}(ax + b)\;(a \neq 0)} \\ & \int {f(a{x^{m + 1}} + b){x^m}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{a(m + 1)}}\int {f(a{x^{m + 1}} + b){\rm{d}}(a{x^{m + 1}} + b)} \\ & \int {f\left( \frac{1}{x}\right) \frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\;} = - \int {f\left( \frac{1}{x}\right) {\rm{d}}\left( \frac{{\rm{1}}}{x}\right) \;} \\ & \int {f(\ln x)\frac{1}{x}} {\rm{d}}x = \int {f(\ln x){\rm{d(}}\ln x)} \\ & \int {f({\mathrm{e}^x})} {\mathrm{e}^x}{\rm{d}}x = \int {f({\mathrm{e}^x}} ){\rm{d(}}{\mathrm{e}^x}) \\ & \int {f(\sqrt x } )\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt x }} = 2\int {f(\sqrt x } ){\rm{d}}(\sqrt x ) \\ & \int {f(\sin x)\cos x{\rm{d}}x = } \int {f(\sin x){\rm{d}}\sin x} \\ & \int {f(\cos x)\sin x{\rm{d}}x = } - \int {f(\cos x){\rm{d}}\cos x} \\ & \int {f(\tan x){{\sec }^2}} x{\rm{d}}x = \int {f(\tan x){\rm{d}}\tan x} \\ & \int {f(\cot x){{\csc }^2}} x{\rm{d}}x = - \int {f(\cot x){\rm{d}}\cot x} \\ & \int {f(\arcsin x)\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} {\rm{d}}x = \int {f(\arcsin x){\rm{d}}\arcsin x} \\ & \int {f(\arctan x)\frac{1}{{1 + {x^2}}}} {\rm{d}}x = \int {f(\arctan x){\rm{d}}\arctan x} \\ & \int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{{{\rm{d}}f(x)}}{{f(x)}}} = \ln \left| f(x)\right| + C\end{aligned} }

有理函数的积分

部分分式

\scriptsize { \begin{aligned} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} = & \frac{{{A_1}}}{{{{(x - a)}^\alpha }}} + \frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^{\alpha - 1}}}} + \cdots + \frac{{{A_\alpha }}}{{x - a}} + \\ & \frac{{{B_1}}}{{{{(x - b)}^\beta }}} + \frac{{{B_2}}}{{{{(x - b)}^{\beta - 1}}}} + \cdots + \frac{{{B_\beta }}}{{x - b}} + \\ & \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{({x^2} + px + q)}^\lambda }}} + \frac{{{M_2}x + {N_2}}}{{{{({x^2} + px + q)}^{\lambda - 1}}}} + \cdots + \frac{{{M_\lambda }x + {N_\lambda }}}{{{x^2} + px + q}} + \\ & \cdots\end{aligned} }

三角函数的特殊定积分

\scriptsize { \begin{aligned} I_n & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x \\ I_n & =\frac{n-1}{n}I_{n-2} \\ & =\begin{cases} \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}} \cdots \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3}\quad (n为大于1的正奇数),I_1=1 \\[13pt] \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}} \cdots \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{2}\quad (n为正偶数),I_0=\dfrac{\pi}{2} \end{cases}\end{aligned} }

多元函数微分

偏导数

偏导数记法

设函数 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 内有偏导数: $\frac{{\partial z}}{{\partial x}} = {f_x}(x,y),\quad \frac{{\partial z}}{{\partial y}} = {f_y}(x,y)$ 他们的偏导数若存在,那么称其偏导数为 $z=f(x,y)$ 的二阶偏导数 .按照对变量求导次序不同,有如下四个二阶偏导数:

\scriptsize { \begin{aligned} & \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {x^2}}} = {f_{xx}}(x,y) & \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial x}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial x\partial y}} = {f_{xy}}(x,y) \\[7pt] & \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial y\partial x}} = {f_{yx}}(x,y) & \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial z}}{{\partial y}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}z}}{{\partial {y^2}}} = {f_{yy}}(x,y).\end{aligned} }

全微分

微分方程(该部分将会采用详细的讲义样式)

微分方程的基本概念

定义 1.1**.

一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做，有时也简称.

定义 1.2**.

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做.例如三阶微分方程 $x^3y'''+x^2y''-4xy'=3x^2+\sin{2x}$ .一般地， $n$ 阶微分方程的形式是
$F(x,y,y',\cdots ,y^{(n)})=0\label{n阶微分方程}$
其中 $y^{(n)}$ 是必须有的，而其余项 $x,y,y',\cdots ,y^{(n-1)}$ 可有可无.

定义 1.3**.

找出这样的函数，把这个函数代入微分方程[n阶微分方程]{reference-type="eqref"
reference="n阶微分方程"}能使该方程成为恒等式.这个函数就叫做该.设函数 $y=\varphi(x)$ 在区间 $I$ 上有 $n$ 阶连续导数,如果在区间 $I$ 上,
$F\left[x,\varphi(x),\varphi'(x),\cdots ,\varphi^{(n)}(x)\right]\equiv 0$
那么函数就叫做微分方程[n阶微分方程]{reference-type="eqref"
reference="n阶微分方程"}在区间 $I$ 上的解.

定义 1.4**.

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同[^1]，这样的解叫做.

通解中含有任意常数，所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性.所以为了完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数的值.为此要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件.例如设一阶微分方程中的未知函数为 $y=\varphi (x)$ ，通常给出的条件为 $x=x_0,y=y_0$ ，也记为 ${y|}_{x=x_0}=y_0$ .

定义 1.5**.

上述给出的条件就称为.确定了通解中的任意常数以后，得到的解就叫做.求微分方程 $y'=f(x ,y)$ 满足初值条件 ${y|}_{x=x_0}=y_0$ 的特解这样一个问题，叫做一阶微分方程的，记作
$\left\lbrace \begin{array}{l} y' = f(x,y) \ y\left | {_{x = {x_0}} = {y_0}} \right. \end{array} \right. \label{初值问题1}$

定义 1.6**.

微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的.初值问题[初值问题1]{reference-type="eqref"
reference="初值问题1"}的几何意义，就是求微分方程[初值问题1]{reference-type="eqref"
reference="初值问题1"}的通过点 $(x_0,y_0)$ 的那条积分曲线，二阶微分方程的初值问题
$\left\lbrace \begin{array}{l} y''= f(x,y,y') \ y\left | {_{x = {x_0}} = {y_0}} \right. \ y'\left | {_{x = {x_0}} = {y_0'}} \right. \end{array} \right. \label{初值问题2}$
的几何意义是求微分方程[初值问题2]{reference-type="eqref"
reference="初值问题2"}的通过点 $(x_0,y_0)$ 的且在该点处的切线斜率为 $y_0'$ 的那条积分曲线.

各种微分方程的求解

可分离变量的微分方程

定义 1.7**. *一般地，如果一个微分方程能写成

$g(y)\,\mathrm{d}y=f(x)\,\mathrm{d}x \label{可分离变量的微分方程}$
的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含 $y$ 的函数和 $\mathrm{d}y$ ，另一端写成只含 $x$ 的函数和 $\mathrm{d}x$ 的形式，那么原方程就称为.*

{.method}
方法 1.1.
方程[可分离变量的微分方程]{reference-type="eqref"
reference="可分离变量的微分方程"}的解法，只需要两边同时积分即可，即
$\int g(y)\,\mathrm{d}y=\int f(x)\,\mathrm{d}x \label{可分离变量的微分方程2}$
设 $G(y)$ 和 $F(x)$ 分别为 $g(y)$ 和 $f(x)$ 的原函数，那么 $G(y)=F(x)+C \label{可分离变量的微分方程3}$

定义 1.8**.

如果方程[可分离变量的微分方程3]{reference-type="eqref"
reference="可分离变量的微分方程3"}表示的是隐函数 $y=\varphi (x)$ ，那么式[可分离变量的微分方程3]{reference-type="eqref"
reference="可分离变量的微分方程3"}是微分方程[可分离变量的微分方程]{reference-type="eqref"
reference="可分离变量的微分方程"}的.又由于关系式[可分离变量的微分方程3]{reference-type="eqref"
reference="可分离变量的微分方程3"}中含有任意常数，因此式[可分离变量的微分方程3]{reference-type="eqref"
reference="可分离变量的微分方程3"}微分方程[可分离变量的微分方程]{reference-type="eqref"
reference="可分离变量的微分方程"}的通解，也叫做.

齐次方程

定义 1.9**. 如果一阶微分方程可以化成

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi (\frac{y}{x})
\label{齐次方程1}$$

的形式，那么这个微分方程就叫做.

{.method}
方法 1.2.
求解齐次微分方程[齐次方程1]{reference-type="eqref"
reference="齐次方程1"}的方法如下：\
第一步：换元 $u=\frac{y}{x}$ 其中 $u$ 是关于 $x$ 的一个新函数，所以
$y=ux,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}x$
第二步：代入式[齐次方程1]{reference-type="eqref"
reference="齐次方程1"}，得
$u+\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}x=\varphi (u)$ 第三步：分离变量,得到
$\frac{1}{\varphi (u)-u}\,\mathrm{d}u=\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$
第四步：两边同时积分,得到
$\int \frac{1}{\varphi (u)-u}\,\mathrm{d}u=\ln|x|\,$ 即
$x=\mathrm{e}^{\int \frac{1}{\varphi (u)-u}\,\mathrm{d}u}$

{.theorem}
** $\square$ 定理 1.1**.
齐次方程[齐次方程1]{reference-type="eqref"
reference="齐次方程1"}的通解为
$x=\mathrm{e}^{\int \frac{1}{\varphi (u)-u}\,\mathrm{d}u} \label{齐次方程的通解}$

可化为齐次的方程

{.method}
方法 1.3. 方程
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2} \label{非齐次方程}$
当 $c_1=c_2=0$ 时方程[非齐次方程]{reference-type="eqref"
reference="非齐次方程"}是齐次的，否则不是齐次的.在非齐次的情形，可以用变换法和待定系数法使得其变为齐次方程.令
$x=X+h,y=Y+k,$ 于是，
$\mathrm{d}x=\mathrm{d}X,\mathrm{d}y=\mathrm{d}Y,$
带入方程[非齐次方程]{reference-type="eqref"
reference="非齐次方程"}得到
$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{a_1X+b_1Y+a_1h+b_1k+c_1}{a_2X+b_2Y+a_2h+b_2k+c_2}.$
那么要使方程[非齐次方程]{reference-type="eqref"
reference="非齐次方程"}是齐次方程，那么需要满足方程组 $\left\lbrace \begin{array}{l} a_1h+b_1k+c_1=0 \ a_2h+b_2k+c_2=0 \end{array} \right.$ 如果上述方程组的系数行列式 $\left| \begin{array}{cc} a_1&b_1 \ a_2&b_2 \end{array} \right| \ne 0$
，即 $\displaystyle\frac{a_2}{a_1}\ne \frac{b_1}{b_2}$ ，那么这个方程组存在唯一的 $h$ 和 $k$ 使得上述方程组成立.那么，方程[非齐次方程]{reference-type="eqref"
reference="非齐次方程"}便化为齐次方程
$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{a_1X+b_1Y}{a_2X+b_2Y}.$
求出这个齐次方程的解以后在通解中要记得将元换回来，即代入 $X=x-h,Y=y-k$ .\
特别地，当 $\displaystyle\frac{a_2}{a_1}= \frac{b_1}{b_2}$ 时，无法求出 $h$ 和 $k$ .这时令 $\displaystyle\frac{a_2}{a_1}= \frac{b_1}{b_2}=\lambda$ ，那么方程[非齐次方程]{reference-type="eqref"
reference="非齐次方程"}可以写为
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{\lambda (a_1x+b_1y)+c_2}$
引入新变量 $v=a_1x+b_1y$ ，那么
$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=a_1+b_1 \, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{b_1}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a_1 \right)$
代入方程[非齐次方程]{reference-type="eqref"
reference="非齐次方程"}得到
$\frac{1}{b_1}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a_1 \right)=\frac{v+c_1}{\lambda v+c_2}$
这就变成了一个可以分离变量的方程，很容易就可以求解.

Hello, My Friend